Le equazioni di Lotka-Volterra, conosciute anche come equazioni del modello preda-predatore, rappresentano un modello matematico basato su un sistema di equazioni differenziali utilizzato per descrivere la dinamica di popolazione in un sistema con due specie in competizione tra loro. Le equazioni sono funzionali anche per l'analisi di un ecosistema dove due specie sono in competizione per una risorsa e ciascuna influenza negativamente l'altra.
Da un punto di vista matematico, le equazioni di Lotka-Volterra derivano dalla equazione logistica, che illustra la crescita di una singola specie in un ecosistema ideale privo di competizione.
Esempio ed analisi
L'esempio classico utile per l'analisi delle equazioni di Lotka e Volterra è rappresentato da un sistema nel quale due specie (N1 ed N2) coesistono e competono tra loro sia direttamente (preda-predatore) sia indirettamente (competizione per una risorsa, ad esempio per il cibo).
Le equazioni logistiche per le specie N1 ed N2 sono le seguenti:
$$\frac{dN_{1}}{dt}=r_{1}N_{1}\left ( \frac{K-N_{1}}{K_{1}} \right )$$
$$\frac{dN_{2}}{dt}=r_{2}N_{2}\left ( \frac{K-N_{2}}{K_{2}} \right )$$
Nelle equazioni la crescita è espressa in termini di derivata ed è correlata al coefficiente di crescita (r1 ed r2) ed alla capacità (k) dell'ecosistema. In altre parole, la variazione del numero di individui di ciascuna specie (N1 e N2), nell'arco di tempo, è direttamente correlata al coefficiente di crescita specifico per la specie e la capacità massima teorica dell'ecosistema.
Per valutare la crescita delle due specie, in un ecosistema dove le stesse sono in competizione, si introduce una nuova variabile: la capacità che ha ciascuna specie di predare o di sottrarre risorse all'altra. Le due variabili sono integrate nel modo sotto esposto:
$$\frac{dN_{1}}{dt}=r_{1}N_{1}\left ( \frac{K-N_{1}-\alpha N_{2}}{K_{1}} \right )$$
$$\frac{dN_{2}}{dt}=r_{2}N_{2}\left ( \frac{K-N_{2}-\beta N_{1}}{K_{2}} \right )$$
Con alpha e beta si indicano, rispettivamente, le capacità di predazione delle specie N2 ed N1.
Punti di equilibrio
Nelle equazioni di Lotka e Volterra ci sono dei punti di equilibrio nel quale le popolazioni di ambue specie rimangono costanti nelle unità di tempo. Il primo punto di equilibrio è rappresentato dalla situazione nella quale ambedue specie sono estinte. Il secondo punto di equilibrio è individuato in una situazione specifica: quando il numero di prede catturate equivale al numero di nascite - nel modello preda-predatore - oppure quando la competizione per il cibo è stabile e garantisce sufficiente cibo ad ambedue specie.
Introduzione: Ecologia, ecosistema, biosfera, nicchia ecologica. Foresta pluviale, savana tropicale.
Flusso dell'energia: Produttore primario, consumatore
Cicli biogeochimici: Ciclo del carbonio, ciclo dell'azoto, ciclo del fosforo, ciclo dello zolfo.
Popolazione: Crescita della popolazione, fattore limitante, stress ecologico.
Rapporti tra specie: Neutralismo, commensalismo, competizione, mutalismo, amensalismo.
Dinamica delle popolazioni: Competizione intraspecifica, competizione interspecifica, coevoluzione. Equazioni di Lotka-Volterra.
Dinamica degli ecosistemi: Successione ecologica.
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